Ejemplo de una aproximación sucesiva

EJEMPLO:

Un ejemplo típico es la de encontrar la raíz de la ecuación:

En la siguiente gráfica se observa como se va sacando la iteración de la ecuación: 

Para encontrar la raíz, se comienza en el punto cualquiera de abscisa x₀ dentro del intervalo (0, p/2), y se traza la línea vertical hasta que interseca la curva, luego, desde este punto, se traza una línea horizontal hasta que se alcanza la recta bisectriz, este punto tendrá por abscisa x₁. Se traza de nuevo, una línea vertical hasta encontrar a la curva, y otra línea horizontal hasta encontrar la línea recta, el punto de intersección tiene de abscisa x₂ , y así sucesivamente. Como podemos apreciar en la figura, la sucesión x₁, x₂, x₃... tiende hacia la raíz x de la ecuación buscada.

A continuación se muestra un ejercicio con la misma ecuación  hasta llegar a una aproximación de 0.001.

f(x)=x-cos(x)

g(x)=x=cos(x)

xn+1=cons(xn) hasta nmax=9, x0=0.5

n=0                                             n=1                                            n=2                         

x1=cos(x0)                                 x2=cos(x1)                                 x3=cos(x2)

x1=cos(0.5)                               x2=cos(0.878)                          x3=cos(0.639)

x1=0.8775825619                    x2=0.6386913466                  x3=0.8026925522

x1=0.878                                    x2=0.639                                  x3=0.803

x1=|x1-x0|=|0.878-0.500|           x2=|x2-x1|=|0.639-0.878|        x3=|x3-x2|=|0.803-0.639|

x1=0.378                                    x2=0.239                                  x3=0.164

 n=3                                             n=4                                            n=5                        

x4=cos(x3)                                 x5=cos(x4)                                x6=cos(x5)

x4=cos(0.803)                           x5=cos(0.695)                          x6=cos(0.768)

x4=0.6945515091                    x5=0.7680537018                   x6=0.7193015033

x4=0.695                                    x5=0.768                                  x6=0.719

x4=|x4-x3|=|0.695-0.803|          x5=|x5-x4|=|0.768-0.695|        x6=|x6-x5|=|0.719-0.768|

x4=0.108                                    x5=0.073                                  x6=0.049

n=6                                             n=7                                            n=8                         

x7=cos(x6)                                x8=cos(x7)                                x9=cos(x8)

x7=cos(0.719)                          x8=cos(0.752)                          x9=cos(0.730)

x7=0.7524647378                   x8=0.7303241289                   x9=0.7451744023

x7=0.752                                   x8=0.730                                  x9=0.745

x7=|x7-x6|=|0.752-0.719|         x8=|x8-x7|=|0.730-0.752|         x9=|x9-x8|=|0.745-0.730|

x7=0.033                                   x8=0.022                                  x9=0.015

Aun no se llega al resultado pero como se pueden dar cuenta no falta mucho así que con una o dos iteraciones mas se aproximara aun mas al resultado ideal.