GAUSS-SEIDEL

GAUSS-SEIDEL

El método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas suministra soluciones suficientemente precisas hasta para 15 o 20 ecuaciones. El número exacto depende de las ecuaciones de que se trate, del número de dígitos que se conservan en el resultado de las operaciones aritméticas, y del procedimiento de redondeo. Utilizando ecuaciones de error, el número de ecuaciones que se pueden manejar se puede incrementar considerablemente a más de 15 o 20, pero este método también es impráctico cuando se presentan, por ejemplo, cientos de ecuaciones que se deben resolver simultáneamente. El método de inversión de matrices tiene limitaciones similares cuando se trabaja con números muy grandes de ecuaciones simultáneas. Sin embargo, existen varias técnicas que se pueden utilizar, para resolver grandes números de ecuaciones simultáneas. Una de las técnicas más útiles es el método de Gauss-Seidel. Ninguno de los procedimientos alternos es totalmente satisfactorio, y el método de Gauss-Seidel tiene la desventaja de que no siempre converge a una solución o de que a veces converge muy lentamente. Sin embargo, este método convergirá siempre a una solución cuando la magnitud del coeficiente de una incógnita diferente en cada ecuación del conjunto, sea suficientemente dominante con respecto a las magnitudes de los otros coeficientes de esa ecuación. Es difícil definir el margen mínimo por el que ese coeficiente debe dominar a los otros para asegurar la convergencia y es aún más difícil predecir la velocidad de la convergencia para alguna combinación de valores de los coeficientes cuando esa convergencia existe. No obstante, cuando el valor absoluto del coeficiente dominante para una incógnita diferente para cada ecuación es mayor que la suma de los valores absolutos de los otros coeficientes de esa ecuación, la convergencia está asegurada. Ese conjunto de ecuaciones simultáneas lineales se conoce como sistema diagonal. Un sistema diagonal es condición suficiente para asegurar la convergencia pero no es condición necesaria. Afortunadamente, las ecuaciones simultáneas lineales que se derivan de muchos problemas de ingeniería, son del tipo en el cual existen siempre coeficientes dominantes.

La secuencia de pasos que constituyen el método de Gauss-Seidel es la siguiente:

 1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer una hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar valores seleccionados arbitrariamente. Los valores iniciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha convergencia. 

2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los valores supuestos. 

3. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incógnita del paso 2 y los valores supuestos para las incógnitas restantes.

 4. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en cada ecuación particular, y utilizando siempre los últimos valores calculados para las otras incógnitas de la 2. ecuación. (Durante la primera iteración, se deben utilizar los valores supuestos para las incógnitas hasta que se obtenga un valor calculado). Cuando la ecuación final ha sido resuelta, proporcionando un valor para la única incógnita, se dice que se ha completado una iteración. 

5. Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en una iteración particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, en una cantidad menor que cierto seleccionado arbitrariamente. El procedimiento queda entonces completo. Refiriéndonos al paso 5, mientras menor sea la magnitud del seleccionado, mayor será la precisión de la solución. Sin embargo, la magnitud del epsilon no especifica el error que puede existir en los valores obtenidos para las incógnitas, ya que ésta es una función de la velocidad de convergencia. Mientras mayor sea la velocidad de convergencia, mayor será la precisión obtenida en los valores de las incógnitas para un dado.

EJEMPLO:

Primero se despejan las incógnitas x1, x2 y x3 de las ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente. Se tiene:

Estas últimas son el juego de fórmulas iterativas que se estará utilizando.

Se comienza el proceso iterativo sustituyendo los valores de x2 = x3 = 0 en la primera ecuación, para calcular el valor de x1:

Ahora se sustituye  y x3 = 0 en la segunda ecuación para obtener x2:

Ahora se sustituye  y  en la tercera ecuación para obtener x3:

Así se tiene la primera aproximación a la solución del sistema:

Puesto que todavía no se puede calcular ningún error aproximado, se repite el proceso pero ahora con los últimos datos obtenidos para las incógnitas:

Sustituyendo  y  en la ecuación 1 se obtiene  Sustituyendo y  en la ecuación 2 se obtiene  finalmente, sustituyendo  y  en la ecuación 3 se obtiene . Es así como se tiene la segunda lista de valores de aproximación a la solución del sistema:

Ahora se pueden calcular los errores absolutos para cada una de las incógnitas:

Puesto que no se ha logrado el objetivo, se debe repetir el mismo proceso con los últimos valores obtenidos de cada una de las incógnitas. Nótese que aunque el error aproximado  ya cumple con ser menor al 1%, esto se debe cumplir para los tres errores aproximados. Por lo tanto se repite el mismo proceso. Omitiendo los pasos intermedios, se obtiene:

En este caso se tienen los siguientes errores aproximados:

Se puede observar que ahora se ha cumplido el objetivo para cada uno de los errores aproximados. Por lo tanto, se concluye que la solución aproximada es: