Aproximaciones Sucesivas

APROXIMACIONES SUCESIVAS

El método de las aproximaciones sucesivas es uno de los procedimientos más importantes y más sencillos de codificar. Supongamos la ecuación

donde f(x) es una función continua que se desea determinar sus raíces reales. Se sustituye f(x) por la ecuación equivalente

Se estima el valor aproximado de la raíz x₀, y se sustituye en el segundo miembro de la ecuación para obtener x₁.

Poniendo x₁ como argumento de j(x), obtendremos un nuevo número x₂, y así sucesivamente. Este proceso se puede sintetizar en la fórmula.

 

Si esta secuencia es convergente es decir, tiende hacia un límite, la solución x es:

               

El criterio de convergencia

No todas las ecuaciones pueden resolverse por este método, solamente si el valor absoluto de la derivada de la función j(x) en la vecindad de la raíz x es menor que la unidad (la pendiente de la recta bisectriz del primer cuadrante es uno). En la figura, podemos ver como es imposible encontrar la solución marcada por un puntito negro en la intersección entre la curva y la recta bisectriz del primer cuadrante, ya que la sucesión x_i diverge.