sábado, 15 de septiembre de 2012

Ejemplo de una aproximación sucesiva

EJEMPLO:

Un ejemplo típico es la de encontrar la raíz de la ecuación:


En la siguiente gráfica se observa como se va sacando la iteración de la ecuación: 
FIG14_01.gif (2477 bytes)

Para encontrar la raíz, se comienza en el punto cualquiera de abscisa x0 dentro del intervalo (0, p/2), y se traza la línea vertical hasta que interseca la curva, luego, desde este punto, se traza una línea horizontal hasta que se alcanza la recta bisectriz, este punto tendrá por abscisa x1. Se traza de nuevo, una línea vertical hasta encontrar a la curva, y otra línea horizontal hasta encontrar la línea recta, el punto de intersección tiene de abscisa x2 , y así sucesivamente. Como podemos apreciar en la figura, la sucesión x1, x2, x3... tiende hacia la raíz x de la ecuación buscada.

A continuación se muestra un ejercicio con la misma ecuación  hasta llegar a una aproximación de 0.001.

f(x)=x-cos(x)

g(x)=x=cos(x)
xn+1=cons(xn) hasta nmax=9, x0=0.5

n=0                                             n=1                                            n=2                         
x1=cos(x0)                                 x2=cos(x1)                                 x3=cos(x2)
x1=cos(0.5)                               x2=cos(0.878)                          x3=cos(0.639)
x1=0.8775825619                    x2=0.6386913466                  x3=0.8026925522
x1=0.878                                    x2=0.639                                  x3=0.803
x1=|x1-x0|=|0.878-0.500|           x2=|x2-x1|=|0.639-0.878|        x3=|x3-x2|=|0.803-0.639|
x1=0.378                                    x2=0.239                                  x3=0.164

 n=3                                             n=4                                            n=5                        
x4=cos(x3)                                 x5=cos(x4)                                x6=cos(x5)
x4=cos(0.803)                           x5=cos(0.695)                          x6=cos(0.768)
x4=0.6945515091                    x5=0.7680537018                   x6=0.7193015033
x4=0.695                                    x5=0.768                                  x6=0.719
x4=|x4-x3|=|0.695-0.803|          x5=|x5-x4|=|0.768-0.695|        x6=|x6-x5|=|0.719-0.768|
x4=0.108                                    x5=0.073                                  x6=0.049

n=6                                             n=7                                            n=8                         
x7=cos(x6)                                x8=cos(x7)                                x9=cos(x8)
x7=cos(0.719)                          x8=cos(0.752)                          x9=cos(0.730)
x7=0.7524647378                   x8=0.7303241289                   x9=0.7451744023
x7=0.752                                   x8=0.730                                  x9=0.745
x7=|x7-x6|=|0.752-0.719|         x8=|x8-x7|=|0.730-0.752|         x9=|x9-x8|=|0.745-0.730|
x7=0.033                                   x8=0.022                                  x9=0.015

Aun no se llega al resultado pero como se pueden dar cuenta no falta mucho así que con una o dos iteraciones mas se aproximara aun mas al resultado ideal.




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